Perché Achille raggiungerà la tartaruga?

[Per gentile concessione dell’autore]

Nel V secolo a.C., il filosofo greco Zenone di Elea propose un paradosso per spiegare come, secondo lui (ed il suo mentore Parmenide), il movimento fosse un’illusione. Il paradosso recita, parafrasando: “Achille, simbolo di velocità, non raggiungerà mai una tartaruga, simbolo di lentezza, se questa parte avvantaggiata. Infatti, Achille dovrebbe prima raggiungere il punto in cui la tartaruga si trovava alla partenza, ma da cui si è sposata, e così via.” Il paradosso nasce dal fatto che ogni volta che Achille raggiunge il posto occupato precedentemente dalla tartaruga, quest’ultima avrà un vantaggio. Il ragionamento si può ripetere all’infinito. Quindi, il pelide eroe non potrà mai raggiungere il lento animale.

[Per gentile concessione dell’autore]

Schema del ragionamento di Zenone. Ogni volta che Achille raggiunge il punto precedentemente occupato dalla tartaruga, questa avrà nuovamente un vantaggio.

L’argomentazione sembra corretta, ma allora dov’è l’inganno? Sicuramente c’è un errore poiché anche un essere umano normale, e non necessariamente un mitico eroe dell’antichità, può raggiungere una tartaruga.Ipotizziamo che Achille sia in grado di correre alla velocità di 10 km/h, e che la tartaruga invece cammini alla velocità di 1 km/h ed abbia un vantaggio iniziale di 1 km. In questo caso, Achille raggiungerà il punto da cui la tartaruga è partita dopo 6 minuti. Durante questo lasso di tempo, la tartaruga è avanzata di 100 metri. Achille, per percorrere questi ulteriori 100 metri, impiegherà altri 36 secondi, e la tartaruga percorrerà altri 10 metri, e così via all’infinito.Abbiamo quindi che Achille raggiunge i punti precedentemente occupati dalla tartaruga prima dopo 6m = 360s, poi dopo ulteriori 36s, 3,6s, 0,036s, e così via!

Quindi è vero che Achille dovrà raggiungere infinite volte il punto occupato prima dall’animale. 

Ma allora dove sta l’errore commesso dal filosofo? Sta nel fatto che Zenone non sapesse che sommando infiniti numeri fosse possibile ottenere un numero finito! Infatti, se sommiamo tutti i numeri della sequenza dei tempi otteniamo un risultato finito, grazie alla teoria delle serie geometriche [1]:

360 + 36 + 3.6 + 0.36 + … = 360 * (1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + …) = 400s = 6m 40s.
Se desiderate conoscere più nel dettaglio il procedimento per ottenere il risultato, vi rimando alla fine dell’articolo!

In conclusione, possiamo affermare che Zenone fosse uno sciocco? Assolutamente no! Il suo ragionamento era incredibilmente solido e convincente. E la teoria (delle serie geometriche) utile a confutare la sua tesi sarebbe stata scoperta solo secoli dopo la sua morte!
Per i più temerari, ecco i dettagli.

Il nostro risultato si ottiene dalla seguente proprietà: se un numero x ha modulo minore di uno (ovvero è un numero più piccolo di 1, ma più grande di -1), allora vale il seguente risultato: 

 Nel nostro caso, , che quindi ci restituisce:

_

Michele Ginesi
Laureato in Matematica nel 2017 presso l’Università di Verona. Attualmente studente di Dottorato presso la stessa Università. Mi piace vedere l’aspetto matematico delle mie passioni, dalla musica alla giocoleria.

Fonti:
 https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_geometrica.

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