Pizza e matematica: il Theorema Egregium di Gauss

Chiunque abbia mangiato la pizza con le mani almeno una volta (cioè chiunque abbia mangiato la pizza!) sa bene che, per impedire alla fetta di afflosciarsi, basta piegarla a metà lungo un raggio e iniziare ad addentarla dalla punta, avanzando a morsi verso la crosta. Nemmeno gli amanti più accaniti di questo piatto delizioso però sanno che questo trucchetto deriva da un celebre teorema di geometria differenziale.

Il risultato che ci permette di gustare la pizza senza scomodarci a usare le posate è il Theorema Egregium, pubblicato nel 1827 dal grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss. Così battezzato per via della sua grandissima importanza (da qui il titolo di teorema impareggiabile o teorema eccellente), il Theorema Egregium si può spiegare dicendo che ogni superficie (il piano, la superficie di una sfera, etc…) ha una sua curvatura intrinseca, la quale non cambia se si piega la stessa superficie senza allungarla, distenderla o sforzarla.

Per quanto riguarda il concetto di curvatura intrinseca, possiamo immaginare di tracciare due linee perpendicolari tra loro sulla superficie di un oggetto e verificare se e in quale direzione queste siano curve. Disegnando due linee su un foglio di carta, ciascuna parallela a un suo lato (e quindi perpendicolari tra loro), ci rendiamo facilmente conto che entrambe sono rette e possiamo intuitivamente affermare che hanno curvatura pari a zero. Moltiplicando il valore di queste curvature otteniamo nuovamente uno zero: diciamo allora che la curvatura gaussiana del foglio di carta è nulla. Una palla da biliardo è simile a una sfera e ha curvatura positiva (cioè è rivolta verso l’esterno).

Restando in ambito mangereccio: una Pringles ha, invece, una curvatura negativa, data dal prodotto delle due curvature calcolate rispettivamente lungo la linea che congiunge i due punti più alti della patatina e una curvatura positiva, lungo quella che ne congiunge i due punti più bassi: poiché il prodotto di un qualunque numero positivo per un qualunque numero negativo è un numero negativo, il nostro snack (o, per i matematici, il “paraboloide iperbolico”) ha curvatura negativa.

Un esempio che chiarirà l’enunciato vero e proprio del teorema, cioè che la curvatura di una superficie non può cambiare: se arrotoliamo un foglio di carta lungo il lato lungo, ci rendiamo conto che esso mantiene curvatura zero lungo questa direzione, ma ha curvatura positiva lungo la direzione del lato più corto, proprio perché il foglio è arrotolato. In fondo, la forma descritta dal foglio lungo questo asse è un cerchio e, per analogia con la sfera (tagliando una sfera con un piano si ottiene un cerchio) sappiamo che il cerchio ha curvatura positiva. La curvatura totale del foglio resta zero (un numero positivo moltiplicato per zero è zero), e anzi risulta molto difficile piegare nell’altra direzione il tubo così ottenuto, perché la curvatura complessiva deve restare zero. Piegare il tubo con la forza è possibile, ma solo perché in quel caso la carta verrebbe sforzata o strappata, azioni che come sappiamo non preservano la curvatura gaussiana.

Per tornare alla nostra amata pizza: disegnando ancora una volta due linee – una lungo un raggio e una perpendicolare a quest’ultima – ci accorgiamo che la curvatura intrinseca della fetta di pizza è zero e quindi piegare la fetta lungo un raggio modifica solo una delle due curvature “costringendo” la fetta a rimanere rigida al fine di mantenere la propria curvatura intrinseca.

Insomma, non che ci manchino le scuse per ingozzarci di pizza, ma da oggi siamo orgogliosi di poter aggiungere alla lista “avevo bisogno di ripassare matematica”!

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Giovanni Åbrink
Mi sono laureato in Economia Teorica alla Bocconi, e ho continuato con un master alla Columbia University. Mi sono specializzato in microeconomia, teoria dei giochi e dei contratti (“hai mai guardato il film A Beautiful Mind? Ecco, io studio quello”), e grazie all’interesse per queste materie ho avuto modo di approfondire branche della matematica come teoria delle misure e topologia.

Fonti e approfondimenti, in ordine di complessità:

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