No! Non si tratta di un matematico di bell’aspetto
[Foto di Roman Mager su Unsplash]
Se prima del 2020 eravate riusciti a sopravvivere senza sentire le parole “Modello Matematico”, probabilmente le notizie sulla pandemia vi hanno costretto a imparare questo termine. Infatti, i concetti come “curva di contagio” o “valore Rt” derivano tutti dal SIR [1], un modello matematico utilizzato per descrivere il comportamento delle epidemie [2].
Cos’è, e cosa non è, un modello matematico?
Ve lo racconta uno che, oltre a esserne appassionato, per sua fortuna coi modelli matematici ci lavora.
Stando a Wikipedia [3], un modello matematico è una “descrizione astratta di un sistema concreto utilizzando concetti e linguaggio matematico”.
Due brevi considerazioni.
La prima è che non stiamo dicendo che un sistema concreto possieda insitamente una descrizione astratta e matematica, ma solo che possiamo darne una. La seconda è che il modello è utile a descrivere un fenomeno, e non a spiegarlo.
Inoltre, questa descrizione non è unica: lo stesso fenomeno può essere descritto in più modi diversi. Prendete ad esempio la gravità: il modello più conosciuto ed utilizzato è la Legge di Gravitazione Universale [4], eppure sono quasi cento anni che sappiamo che la gravità è meglio descritta non da un campo di forze ma una piega nello spazio-tempo. Nonostante ciò, per costruire i ponti utilizziamo le leggi di Newton. Perché? Spero oggi di riuscire a darvi qualche spunto su cui riflettere.
Iniziamo spiegando come si crea un modello matematico.
La prima cosa è scegliere quale sistema o evento vogliamo descrivere, ad esempio il comportamento di un’epidemia. Un modello potrebbe aiutarci a capire, ad esempio, quali misure prendere, oppure prevedere quando l’epidemia finirà, e quale sarà il peso sul sistema sanitario.
Una volta scelto tutto ciò, si fanno delle ipotesi su questo sistema. Queste sono le fondamenta del modello stesso: se si cambia un’ipotesi, tutto il modello va cambiato. La scelta delle ipotesi è cruciale: devono essere abbastanza vicine alla realtà della situazione che vogliamo descrivere, ma anche relativamente semplici per evitare di ottenere un modello talmente complesso da non essere utilizzabile.
Nel nostro esempio dell’epidemia, le ipotesi riguardano lo spiegare come una persona si infetta o guarisce: ad esempio, se un sano incontra un infetto, c’è una certa probabilità che il sano si infetti.
Il terzo passo è utilizzare le ipotesi per ottenere il modello vero e proprio, ovvero un insieme di leggi matematiche definite partendo dalle ipotesi del modello stesso.
Queste leggi matematiche possono essere di diverso tipo. Ad esempio, per le epidemie queste leggi sono delle equazioni differenziali [5] che descrivono come il numero di persone sane, infette, o guarite evolve nel tempo (ad esempio se ci sono poche persone che possono trasmettere la malattia, i sani si infetteranno più lentamente). Se invece vogliamo modellare il trasporto pubblico, utilizzeremo la teoria dei grafi [6].
Riuscite a vedere perché il modello matematico non è insito nel fenomeno stesso che vogliamo descrivere?
Continuiamo ad utilizzare i modelli epidemiologici come esempio. Non saremo mai in grado di descrivere alla perfezione tutti gli aspetti della situazione poiché non abbiamo modo di prevedere come la popolazione reagirà, come il patogeno evolverà, e quali contromisure i governi decideranno di attuare. E anche se lo sapessimo, otterremmo un modello così denso di ipotesi da non poter essere utilizzato (immaginate di dover far girare “The Sims” con 8 miliardi di personaggi sul vostro schermo!)
Quello che possiamo fare è semplificare la situazione. E lo possiamo fare tramite le ipotesi. Ma le ipotesi sono delle semplificazioni della realtà che vengono dal modellista, non dalla realtà stessa. Per questo motivo non c’è IL modello che descrive un fenomeno, ma solo UN modello. Dipende da quali ipotesi e semplificazioni decidiamo di considerare. Se il modello fallisce nel descrivere la realtà, le ipotesi verranno cambiate ottenendo un nuovo modello. Ad esempio, il modello SIR va molto bene per prevedere l’evoluzione di piccole epidemie; ma per il CoViD-19 si è reso necessario creare modelli più complessi [7].
Vedetela così: se l’evento in sé è l’Ultima Cena di Leonardo da Vinci, noi possiamo ambire al massimo a farne uno schizzo. Se lo schizzo sarà abbastanza accurato avremo comunque le informazioni principali (13 persone sedute, pane e vino in tavola, ecc.), ma non riusciremo mai a catturare ogni singolo dettaglio ed ogni singola sfumatura. E schizzi diversi possono concentrarsi su aspetti diversi (i colori degli abiti, o dei capelli, o sul motivo della tovaglia).
Uno degli obiettivi dei modelli è quello di fare previsioni: utilizzare il modello per prevedere l’effetto di certe scelte sul fenomeno in sé. I modelli pandemici possono essere usati per valutare l’effetto di alcune decisioni politiche (lockdown, quarantene, struttura della campagna vaccinale); mentre i modelli biologici possono suggerire quali esperimenti possono rivelarsi interessanti per vari scopi scientifici.
Quest ultimo esempio è alla base dei cosiddetti esperimenti in silico [8]. Questa terminologia si rifà al silicio di cui sono composti i chip per computer. Svolgere un esperimento in silico significa simulare un esperimento biologico prima di svolgerlo praticamente con pipetta e eppendorf. Se l’esperimento simulato dà dei risultati interessanti, a quel punto li si conferma con un esperimento vero e proprio. Questa pratica permette di risparmiare tempo e risorse: una simulazione è molto più veloce e molto meno costosa di un esperimento concreto.
Questo motiva perché spesso si preferiscano modelli più semplici ma meno precisi, come nel caso della legge di gravitazione che ho menzionato all’inizio: anche se la gravità è meglio descritta dalla curvatura dello spazio-tempo, descriverla come una forza permette di rendere le simulazioni molto più veloci perdendo pochissima precisione: si preferisce quindi un modello meno accurato (che sia comunque abbastanza accurato) ma più semplice. Chiaramente, questo è uno scambio che possiamo permetterci di fare solo in alcuni casi: la descrizione dei buchi neri, ad esempio, non può essere accuratamente svolta con la legge di gravitazione universale.
Ma perché un modello descrive ma non spiega? Perché il modello riesce a spiegarci l’avvenimento di un fenomeno, ma non il perché.
Il SIR descrive come il patogeno si propaga, ma non perché si propaga in quel modo.
I modelli biologici prevedono il comportamento di un esperimento, ma non ne spiegano il motivo.
I modelli sulla gravità descrivono come i corpi si attraggono, ma non perché lo facciano.
Ci sono cose a cui nemmeno la matematica può dare una risposta, ma forse è più divertente così. Sicuramente è più interessante!
Michele Ginesi
Laureato in Matematica con un Dottorato in Computer Science, attualmente lavoro come Post-Doc all’Istituto Europeo di Oncologia, occupandomi di modellazione.
Mi dedico alla scrittura di articoli e post per BarScienza dagli inizi del 2019.
Nella fine del 2020 ho creato mathITA (YouTube ed Instagram) in cui parlo di Matematica.
Fonti:
[1] https://www.youtube.com/watch?v=0TWhkWf0BQw
[2] https://www.barscienza.it/matematica-di-unepidemia-parte-1/
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_model
[4] https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_gravitazione_universale
[5] https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_differenziale
[6] https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_grafi
[7] https://arxiv.org/pdf/2002.06563.pdf[8] https://it.wikipedia.org/wiki/In_silico
