Einstein a cavallo di una scopa relativistica

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Attenzione miei amici Babbani!

Siete pronti ad immergervi nel favoloso mondo magico per trarre conclusioni fisiche?

Io faccio parte di quella generazione che, compiuti gli 11 anni, aspettava con ansia l’arrivo della lettera per Hogwarts o l’avvento scenico di Hagrid che mi dicesse: “Martina, sei una strega!”. Ovviamente tutto ciò non è avvenuto, ma come si dice: “la speranza è l’ultima a morire”.

Il mio intento oggi è quello di proporvi un piccolo problemino di fisica che vede protagonista un giocatore di Quidditch e uno spettatore sugli spalti, per semplificare una delle conseguenze a mio avviso più affascinanti della Relatività Ristretta di Einstein: “LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE”.

Prima di dare qualche definizione semplice di tipo tecnico-storico, chi non conoscesse il Quidditch e volesse chiedere perdono per questa gravissima mancanza dovrebbe sapere che si tratta di uno sport che si gioca a cavallo di una scopa. È lo sport più popolare nel mondo magico e le squadre a sfidarsi sono due, composte da sette giocatori: tre Cacciatori, un Portiere, due Battitori e un Cercatore. Ciascun Cacciatore cerca di segnare facendo passare la palla, detta Pluffa, all’interno di uno dei tre anelli/porte della squadra avversaria che sono controllati dal Portiere; i Battitori scacciano le palle che disturbano i giocatori, dette Bolidi e il Cercatore cerca di afferrare il Boccino, una piccola pallina dorata, dotata di ali e molto veloce, che fa guadagnare 150 punti alla squadra.

Esaurita questa piccola digressione per i Babbani pentiti torniamo dove eravamo rimasti. Nel giugno del 1905, Albert Einstein pubblica l’articolo intitolato “Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento”, nel quale enuncia i due principi su cui si basa la Relatività Ristretta e che posso sintetizzare in questo modo:

La luce ha la stessa velocità (c=2,99 x 10⁸ m/s) in tutti i sistemi di riferimento in cui, entro una certa regione di spazio, in un certo intervallo di tempo ed entro l’accuratezza richiesta, ogni particella di test mantiene il suo stato di moto. Questi sistemi vengono detti sistemi di riferimento inerziali.
Tutte le leggi della natura hanno la stessa forma in qualunque sistema inerziale.

Prima di questo momento, le coordinate spazio-tempo di un evento in un sistema di riferimento inerziale erano collegate a quelle di un altro sistema di riferimento inerziale, in moto relativo rispetto al primo, attraverso le Trasformazioni di Galileo. Senza entrare in dettagli tecnico-fisici troppo complessi, direi in modo estremamente riduttivo e superficiale che le Trasformazioni di Galileo imponevano che, dati due sistemi di riferimento O(x,y,z,t) e O₁(x₁,y₁,z₁,t₁), uno in moto rispetto all’altro con velocità v0costante lungo una direzione, ad esempio l’asse x di un sistema cartesiano, vale che:

x = x_1+v_0t

le altre coordinate non si modificano e si equivalgono. Ad esempio, “un Hagrid” fermo sulla banchina osserva passare l’espresso per Hogwarts in movimento, con uno studente a bordo che si muove lungo la direzione del moto del treno: per Hagrid fermo sulla banchina lo studente sul treno si sta muovendo ad una velocità che è la somma della velocità dell’espresso e di quella dello studente: non è magia, ma solamente relatività Galileiana. Questa teorizzazione della relatività è stata accettata fino al momento in cui venne presentata la Teoria dell’Elettromagnetismo descritta da particolari equazioni, le equazioni di Maxwell, le quali però non rispettano la relatività Galileiana. La questione nei particolari è molto complessa e lunga da descrivere: sarebbe inutile anche la Giratempo di Hermione perché chi è completamente a digiuno di fisica avrebbe bisogno di alcune basi. In modo molto semplice, posso affermare che le Trasformazioni di Galileo furono sostituite dalle Trasformazioni di Lorentz, che descrivevano correttamente l’elettromagnetismo ed erano in linea con i principi della Relatività Ristretta. Voglio sottolineare che le Trasformazioni di Lorentz sono precedenti all’articolo del 1905, ma quest’ultimo diede effettivamente un appropriato fondamento alla loro applicazione. A questo punto potrei scrivere le Trasformazioni di Lorentz e fare moltissime considerazioni, ma preferisco andare al punto centrale del discorso e cioè “LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE”, conseguenza diretta delle trasformazioni. Per spiegare “LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE” vi chiedo di pensare a due sistemi di riferimento inerziali (S,S₁) in moto relativo con velocità v lungo l’asse x. In S₁ pongo una scopa lungo l’asse x , ferma per l’osservatore in S₁. Se l’osservatore in S₁ misura la lunghezza (L) della scopa, l’osservatore in S non sarà d’accordo e dirà che la scopa ha lunghezza inferiore (l) secondo la seguente legge:

l = L\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=L\gamma \qquad\qquad (1)

per cui per l’osservatore in S la scopa risulta contratta lungo la direzione del moto.

Ed eccoci giunti al nostro problema che dovrebbe rendere più chiaro questo fenomeno.

Immaginiamo Albert Einstein come un Cercatore di Corvonero che partecipa a due partite, nella prima in sella ad una scopa affidabile e maneggevole come una Nimbus 2000, nella seconda in sella ad una Firebolt, la scopa più veloce al mondo e molto areodinamica. In entrambe le partite Albert riesce ad afferrare il Boccino in t=3,5 s (tempo di cattura più breve registrato nella storia del Quidditch e raggiunto prima solo dal Cercatore Inglese Roderick Plumpton). Supponiamo che, in entrambi i casi, la cattura avvenga lungo una sola direzione a velocità massima costante, che nel caso della Nimbus 2000 è 160 km/h (circa v_n= 44 ms) e nel caso della Firebolt è 240 km/h (circa v_f=66 ms). Quanto spazio ha percorso Albert prima di raggiungere il Boccino, in entrambe le partite, secondo un suo sostenitore fermo sugli spalti(s_n,s_f) e secondo il suo punto di vista (s_n‘,s_f‘)?

Misuriamo in un primo momento lo spazio percorso secondo lo spettatore. Sapendo che la velocità in fisica è definita come lo spazio percorso diviso il tempo impiegato, ottengo che :

s_n = v_n t = (44\times3,5) \text{ m} \approx 154 \text{ m} \\ s_f = v_f t = (66\times 3,5)\text{ m} \approx 231 \text{ m}

Ora applicando la legge della “CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE” (1), ovvero vediamo quanto spazio viene percorso secondo Einstein che si trova sulla scopa:

s_n' = s_n\sqrt{1-\frac{v^2_n}{c^2}}=s_n\gamma_n \approx 154\text{ m}\\ s_f' = s_f\sqrt{1-\frac{v^2_f}{c^2}}=s_n\gamma_f \approx 231\text{ m}

Dai risultati ottenuti vi sentirete presi in giro, perchè i due osservatori sembrerebbero calcolare circa lo stesso spazio percorso. In realtà l’effetto esiste ed è poco visibile, a causa del fattore che in entrambi i casi è circa uguale ad 1. Questo è dovuto alla velocità delle scope usate che è molto inferiore a quella della luce (c). Nonostante la Firebolt sia più veloce della Nimbus, entrambe non sono abbastanza veloci per osservare effetti relativistici. Per tutti i sostenitori di San Tommaso che non credono se non mettono il naso, immaginiamo che Albert, essendo di Corvonero e dunque dotato di un’intelligenza sopraffina, riesca ad inventare una scopa che è in grado di volare ad una velocità pari alla metà di c (1,5108 m/s) e valgano tutte le condizioni del problema precedente. Vediamo che cosa misurerebbero i due osservatori, l’uomo sugli spalti e Albert:

s = vt= (1,5\times10^8\times3,5)\text{ m} \approx 5,25\times 10^8\text{ m}\\ s'=s\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=s\gamma\approx5,25\times10^8\text{ m}\times 0,865 \approx 4,54\times10^8\text{ m}

In questo caso i due risultati differiscono per circa il 13%.

Concludo dicendo che per osservare “LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE” sono necessarie velocità dell’ordine di grandezza di c e aggiungo che, se davvero Albert Einstein fosse stato un mago di Corvonero, avrebbe vinto sempre la Coppa delle Case.

Martina d’Aloia

Fonti