La Brachistocrona: arrivare prima, senza fatica
Difficoltà

Oggi voglio proporvi uno dei problemi più famosi della matematica, in particolare del Calcolo delle Variazioni: il problema della Brachistocrona.

Dai termini greci βράχιστος (brachistos) che significa “più corto” e χρόνος (khrónos) che significa “tempo”, questo problema fu posto dal matematico Johann Bernoulli nel 1696 [1, 2] e recita, all’incirca, così:

Siano A e B due punti nel piano verticale, con B posto più in basso rispetto ad A. Supponendo che sul sistema agisca solo l’accelerazione di gravità e che non ci sia attrito, qual è il percorso che permette di raggiungere B nel minor tempo possibile, partendo da A con velocità nulla?

Sia Johann Bernoulli che il fratello Jakob ottennero la stessa soluzione. Tuttavia, la soluzione proposta da Johann conteneva degli errori e cercò di far passare la soluzione del fratello come sua, quando si dice “fratelli coltelli”.

[Per gentile concessione dell’autore]

Una prima idea per risolvere il problema potrebbe essere quella di considerare il segmento che collega i punti A e B (in rosso in figura). Questo percorso è sicuramente il più breve, ma non il più veloce. Un’altra idea potrebbe essere quella di scendere in picchiata per poi muoversi in orizzontale (viola), accumulando così più energia cinetica (e quindi velocità) possibile nel minor tempo possibile, per poi sfruttarla nel tratto orizzontale. Ma, di nuovo, questo percorso non è il più veloce.

Senza entrare troppo nei dettagli (per gli interessati, lascio un mio video [3] in cui dimostro tutto il procedimento), si parte dalle leggi di conservazione dell’energia totale E del sistema (ovvero della somma tra energia cinetica K ed energia potenziale P)

E = K+P

Da questo, si arriva ad avere che si può esprimere il tempo totale di percorrenza T in funzione del profilo (ovvero della forma del percorso) y(x).

A questo punto, il calcolo delle variazioni ci dice che possiamo minimizzare F utilizzando le equazioni di Eulero-Lagrange [4], le quali sono alla base del Calcolo delle Variazioni e fondamentali per la meccanica classica e la teoria dell’ottimizzazione.

Le Equazioni di Eulero-Lagrange risultano in un’equazione differenziale che, una volta risolta, ci restituisce le espressioni per x e y in funzione di una terza variabile che chiameremo t.
In particolare, la curva ha componenti

x(t) = C(t-sin(t)) \, ,\\
y(t) = C(1-cos(t))\, ,

dove la costante C dipende dalla posizione del punto B.

La curva ottenuta è una cicloide [5], ovvero la curva disegnata da un punto su una circonferenza che ruota lungo un piano, come potete vedere nell’animazione qui sotto.

[Per gentile concessione dell’autore]

Per i più increduli, vi lascio una simulazione in cui la cicloide è confrontata contro gli altri due possibili percorsi presentati prima.

[Per gentile concessione dell’autore]


Un secondo aspetto della brachistocrona, che personalmente trovo interessantissimo, è che è tautocrona [6]. Anche questo nome deriva dalla combinazione di due termini greci: ταὐτό (tautos) che significa “stesso”, e χρόνος (khrónos) che significa “tempo”.

Questo appellativo deriva dal fatto che, se il punto finale B si trova nella parte più bassa della brachistocrona, possiamo partire da qualsiasi punto lungo la curva ed arriveremo in fondo nello stesso istante (ovviamente partendo con velocità nulla).

[Per gentile concessione dell’autore]

Non so voi, ma trovo personalmente incredibile che una curva così semplice (alla fine è una ruota che gira su un piano) possa avere tutte queste proprietà.

È uno di quegli esempi che ci dimostrano quanto la matematica nasconda, dietro le formule, una semplicità e una bellezza incredibili.


Michele Ginesi

Laureato in Matematica nel 2017 presso l’Università di Verona. Attualmente studente di Dottorato presso la stessa Università. Mi piace vedere l’aspetto matematico delle mie passioni, dalla musica alla giocoleria.

Bibliografia

  1. http://www.dmi.unipg.it/annarita/artic/brachistocrona.pdf
  2. https://it.wikipedia.org/wiki/Brachistocrona
  3. https://youtu.be/N-JRCkX77h0
  4. https://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_di_Eulero-Lagrange
  5. https://proofwiki.org/wiki/Brachistochrone_is_Cycloid
  6. https://proofwiki.org/wiki/Cycloid_has_Tautochrone_Property

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