Tutti noi abbiamo quell’amico burlone che, arrivati a un certo punto, sgancia la fatidica domanda:
“Ma, secondo te, pesa di più un Kg di piombo o un Kg di paglia?”
Il mio, che è davvero una frana con le battute, ridacchia ogni volta che la pone a qualcuno. Io lo trovo divertente nel suo essere convinto di conoscere la risposta giusta e, anche adesso che siamo cresciuti, continuo ad assecondarlo. Ho difficoltà a dirgli la verità perché questo è il suo giocattolo preferito e per lui sarebbe come scoprire che Babbo Natale non esiste. Ma un giorno non troppo lontano dovrò dirgli che non è possibile dare una risposta giusta a questa domanda. O almeno: non se la si fa in questo modo. Per indorargli la pillola credo che riformulerò la domanda in modo che possa continuare a divertirsi senza essere in torto. Naturalmente dovrò anche insegnargli a non ridacchiare mentre la pone.
Patate planetarie
Restando nell’ambito della fisica classica, l’ambiguità di fondo è facilmente intuibile: il Chilogrammo (Kg) è l’unità di misura della massa che è una proprietà intrinseca del corpo ed è una grandezza fisica scalare, cioè rappresentabile con un solo numero. La forza peso, che si misura in Newton (N), è l’effetto prodotto dall’interazione gravitazionale, cioè dalla capacità di corpi dotati di massa di attrarsi a vicenda.
Per la seconda legge di Newton, la forza peso è data dal prodotto tra la massa e l’accelerazione gravitazionale. Questo significa che il peso dei due corpi può variare se varia l’accelerazione di gravità. Convenzionalmente, l’accelerazione gravitazionale impressa dalla Terra su un corpo posto sulla sua superficie è approssimata in 9,81 m/s2. Sulla superficie della Luna, che ha una massa molto minore, vale invece 1,62 m/s2. Viene da sé che un Kg di paglia sulla Terra pesa 9,81 N, ben più degli 1,62 N che peserebbe il Kg di piombo se la misurazione fosse fatta sulla Luna.
Meglio però che il mio amico burlone resti con i piedi sulla Terra: sul Plateau Antartico, in un punto in prossimità del Polo Sud, il Kg di paglia peserà 9,83 N mentre da qualche parte lungo l’equatore il Kg di piombo peserà 9,78 N. Se si trova al posto giusto, vince ancora la paglia. Questo perché l’approssimazione dei 9,81 m/s2 non tiene conto della forma della Terra che non è una sfera perfetta ma ha una strana forma simile a una patata schiacciata e irregolare, chiamata geoide. Inoltre la distribuzione della sua massa non è omogenea: gli strati interni (crosta, nucleo e mantello) hanno densità diverse l’uno dall’altro e il loro spessore varia di punto in punto, creando delle anomalie nel suo campo gravitazionale. Infine nell’approssimare non si tiene conto delle forze apparenti dovute ad altri fattori, quali il moto del pianeta stesso.
La domanda, a questo punto, diventa:
“Peserebbe di più un corpo di piombo di massa un chilogrammo o un corpo di paglia di massa un chilogrammo, se la misurazione venisse effettuata con la stessa bilancia, senza spostarla?”
Eureka!
Ma c’è ancora qualcosa che non mi torna. Metto 1 Kg di piombo sul piatto di una bilancia a due bracci e vado a rubare della paglia dal fienile del vicino, stando attento a non farmi beccare, onde evitare di ricevere un’ulteriore dose di piombo. Tornato sano e salvo a casa, poso sul piatto libero la paglia, fino a equilibrare perfettamente la bilancia. Se avessi il superpotere di “vedere” la massa dei corpi, noterei che ho dovuto mettere più di 1 kg di paglia per raggiungere l’equilibrio. “Sono 6 grammi in più, che faccio lascio?”.
“Urca! Ma come è possibile? Allora il piombo pesa più della paglia?”
“Mumble, mumble… Eureka! E’colpa di Archimede!”.
Secondo il principio di Archimede, un corpo immerso in un fluido è soggetto a una spinta verso l’alto uguale al peso del fluido spostato. È il motivo per cui le navi galleggiano in acqua, anche se hanno una grande massa. Anche noi, come i pesci, viviamo all’interno di un fluido: l’aria. Il peso specifico della paglia è molto minore di quello del piombo perciò, a parità di massa, il volume che occupa è più grande. Di conseguenza è maggiore anche il volume dell’aria da spostare e la spinta di Archimede è più intensa.
Bilance volanti
La bilancia, infatti, non solo non misura la massa ma, “Udite! Udite!”, non misura neanche il peso reale del corpo. Ciò che misuriamo con le nostre bilance è una cosiddetta reazione vincolare che segue la terza legge di Newton: ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.
Si tratta di una forza, perpendicolare alla superficie della bilancia, uguale e contraria alla risultante di tutte le forze che agiscono su di essa (la forza peso che va verso il basso e la spinta di Archimede che va verso l’alto). Detto in parole povere: il peso è la forza che il corpo imprime sulla bilancia, la reazione vincolare è la forza che la bilancia imprime sul corpo. Per la sua natura illusoria, questa reazione è detta “peso apparente”.
Se attaccassi un palloncino con 1 Kg di elio sul piatto da cui ho rimosso la paglia, non solo la bilancia non sarebbe in equilibrio, ma addirittura volerebbe via con tutto ciò che c’è sopra, nonostante masse e pesi dell’elio e del piombo siano esattamente uguali. Questo perché, per racchiudere 1Kg di elio, ci vorrebbe un palloncino da 5600 litri e l’aria spostata peserebbe quasi 7 Kg. Una spinta di Archimede molto maggiore di tutte le altre forze in gioco!
A questo punto il mio amico inizia a battermi sulla spalla perché è impaziente di avere il giocattolo nuovo. Perciò lo accontento e lascio, in fondo alla pagina, una nota con le ultime considerazioni sulle bilance, per chi avesse voglia di avventurarsi (*).
La domanda che gli suggerirò diventa quindi:
“A meno della componente dovuta alla spinta di Archimede su entrambi i corpi, sarà maggiore la reazione vincolare che una bilancia imprime su di un corpo di piombo di massa un chilogrammo o su di un corpo di paglia di massa un chilogrammo, se la misurazione venisse effettuata con la stessa bilancia, senza spostarla?”
Credo che così potrà confondere diverse persone, ammesso che riesca a non confondere se stesso.
Enrico Laerte Corona
Fonti:
- Ufficio internazionale dei pesi e delle misure: https://www.bipm.org/en/about-us/
- Guida NIST per l’uso delle unità di misura https://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf
- Isaac Newton, “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”
- Archimede da Siracusa, “Sui corpi galleggianti”
Note
(*) La bilancia ha già, sopra di essa, almeno un Kg di aria (molta di più: tutta la colonna d’aria alta quanto l’atmosfera). Semplicemente la forza peso dell’aria e la spinta di Archimede si annullano per definizione, quindi la bilancia restituisce un valore uguale a 0.
(*) In realtà è vero che le bilance vengono utilizzate per rilevare la massa. Ma è sempre e soltanto una misura indiretta, basata su un equilibrio di forze da cui poi si ricava il valore scalare cercato. Sono, perciò, dei dinamometri. La misura che una bilancia pesapersone restituisce è, quindi, sempre una forza. Attenzione però: l’unità di misura utilizzata non è il Kg ma il chilogrammo-forza (kp). Il kp è definito come la forza peso esercitata da una massa di un chilogrammo, sottoposta ad un’accelerazione di gravità di 9,81 m/s². Riassumendo: se posassimo 1 Kg di piombo sulla bilancia di casa nostra, esso eserciterebbe su di essa una forza peso di 1 kp o di 9,81 N. Lo stesso varrebbe per la paglia. La bilancia potrebbe, però, restituirci un valore diverso se la spinta di Archimede fosse significativa: l’elio peserà sempre 1kp anche se la bilancia segnerà 0.
