Noi matematici adoriamo il caffè e lo usiamo spesso anche nei nostri esempi e problemi, come nel caso del Teorema del Punto Fisso, di cui ho già parlato su Bar Scienza [1].
Lo amiamo talmente tanto che a Paul Erdős viene attribuita la frase
“Un matematico è una macchina che trasforma il caffè in teoremi”.
Se anche voi ne bevete tanti, sicuramente vi sarà capitato di notare, sul fondo della tazza, che il riflesso della luce crea una forma particolare, estremamente riconoscibile. Ebbene, oggi vedremo che cos’è questa curva.
Per fare ciò, dobbiamo prima semplificare lo scenario, creando quello che noi matematici chiamiamo un “modello”. La nostra tazza sarà modellata da una circonferenza: immaginiamo una fonte di luce abbastanza lontana da fare in modo che tutti i raggi di luce arrivino paralleli tra loro (e orientiamoci di modo che questi raggi siano orizzontali).
A questo punto, avremo che i raggi di luce si riflettono sul bordo della tazza. Questo riflesso avviene con un angolo uguale a quello di incidenza sulla tazza.
Grazie alle leggi dell’ottica, avremo che la forma che la luce genera (le cosiddette caustiche (quelle che creano anche i riflessi in piscina) è l’inviluppo di tutti i raggi riflessi. Ma cos’è un inviluppo di preciso? Per farla semplice, l’inviluppo di un insieme di rette è una curva tangente a tutte le rette dell’insieme [2]. Fortunatamente calcolare questa curva non è un procedimento troppo complicato. Supponiamo di avere una famiglia di rette definite tramite un parametro 
L’inviluppo è la curva che soddisfa sia l’equazione della retta che la sua derivata rispetto al parametro
Sul fondo della nostra tazza, la famiglia di rette è parametrizzata da questa equazione
Vi risparmio tutti i conti ma potete trovarli nelle fonti o nel mio video di approfondimento [A].
La derivata di questa identità rispetto a
La risoluzione di questa coppia di equazioni restituisce una curva matematica chiamata nefroide [4], parametrizzata nella variabile 
Potreste obiettare che questa curva in realtà non assomiglia molto alla figura che stavamo cercando. Infatti ha due cuspidi (il “matematichese” per dire “punte”), mentre la curva che vediamo sul fondo delle tazzine ne ha una sola. Ma il motivo (e la soluzione) è presto detto. La curva che abbiamo calcolato ignora il fatto che sul lato destro della tazza, la luce si riflette all’esterno della tazza stessa e quindi questi raggi di luce non dovrebbero essere considerati quando definiamo la curva.
Quindi, per ottenere la curva che descrive il riflesso di luce, sostituiamo la metà destra della nefroide (quella in cui la luce si rifletterebbe all’esterno) con una semicirconferenza (ovvero con la tazza stessa) ottenendo così una sorta di mezza nefroide che è esattamente ciò che vediamo sul fondo della tazzina!
Michele Ginesi
Mi sono laureato in Matematica nel 2017 ed ho ottenuto il dottorato in Informatica nel 2021.
Mi piace vedere l’aspetto matematico delle mie passioni, dalla musica alla giocoleria.
Fonti e Approfondimenti
[1] https://www.barscienza.it/non-puoi-mescolare-il-caffe/
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_(mathematics)
[3] https://chalkdustmagazine.com/features/cardioids-coffee-cups/
