Immagino che tutti abbiano sentito parlare della sezione aurea[1]. Magari il nome non vi dice nulla, ma avrete sicuramente visto le immagini della famosa spirale.
Il valore della sezione aurea si ottiene cercando di disegnare un rettangolo con determinate proporzioni. Il rettangolo ha base a e altezza b, e si vuole che venga soddisfatto il seguente rapporto
Affinché ciò sia vero, è necessario che il rapporto a/b sia pari al seguente valore, che definisce la sezione aurea
Questo valore ha numerose proprietà, che lo rendono uno dei numeri irrazionali più famosi al mondo, dopo il pi-greco e la costante di Nepero. Infatti, questo numero spunta fuori in un sacco di contesti diversi e, all’apparenza, scollegati.
La prima proprietà è che questo valore è strettamente correlato alla sequenza di Fibonacci[2]. La sequenza si ottiene nel seguente modo: si definiscono i primi due numeri della sequenza come 0 ed 1. Poi, ogni numero è definito come la somma dei due precedenti, ottenendo la sequenza
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Ebbene, si ha che il rapporto tra due numeri consecutivi della sequenza è circa uguale alla sezione aurea (in matematichese si dice che converge). In pratica, ogni numero di fibonacci è circa 
Abbiamo altre due proprietà da vedere prima di passare all’argomento principale di questo articolo, le altre sezioni “metalliche”.
La prima: la sezione aurea soddisfa la seguente equazione di secondo grado (ve le ricordate? sono le stesse della parabola)
La seconda: la sezione aurea si può scrivere come una “cascata” di frazioni (dette frazioni continue[3]) in questo modo
Quindi la sezione aurea si può definire in quattro modi diversi: il rapporto tra i lati del rettangolo, il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi, la soluzione all’equazione di secondo grado, e la sua frazione continua.
Ora passiamo dall’oro all’argento. Anche la sezione argentea si può definire in quattro modi diversi.
Il primo è cercare un rettangolo, con base 2a ed altezza b che soddisfi il seguente rapporto
La sezione argentea è il rapporto a/b[4]
Per quanto riguarda il legame con la successione di Fibonacci, abbiamo bisogno di definire una nuova successione, detta successione di Pell[5]. Come quella di Fibonacci, i primi due numeri sono 0 ed 1. La differenza sta nel fatto che ogni numero non è semplicemente la somma dei due precedenti, ma è due volte il precedente sommato a quello prima ancora
ottenendo la successione
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, …
Infine, la sezione argentea 
e si può scrivere come la frazione continua
Immagino abbiate ormai capito come prosegue la cosa. La sezione bronzea si può ottenere in quattro modi. Tramite il rettangolo i cui lati 3a e b soddisfano
Come il limite del rapporto nella sequenza in cui ogni numero è tre volte il precedente sommato a quello prima ancora
0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, …
Come la soluzione all’equazione di secondo grado
E come la frazione continua
In modo più generico, la sezione metallica[6] di ordine n ha quattro definizioni equivalenti.
Il rapporto tra i lati na e b del rettangolo
Il limite
dela sequenza definita nel seguente modo
la soluzione all’equazione
e la frazione continua
Trovo le sezioni metalliche incantevoli. Non solo la sezione aurea appare in contesti diversi e all’apparenza scollegati, con definizioni diverse che però portano allo stesso valore; ma tutte queste definizioni si possono generalizzare per ottenere tutte le sezioni metalliche, e tutte le definizioni sono collegate tra di loro.
Sembra un piccolo miracolo matematico.
Michele Ginesi
Mi sono laureato in Matematica nel 2017 ed ho ottenuto il dottorato in Informatica nel 2021.
Mi piace vedere l’aspetto matematico delle mie passioni, dalla musica alla giocoleria.
Bibliografia
[1] https://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea
[2] https://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Fibonacci
[3] https://it.wikipedia.org/wiki/Frazione_continua
[4] https://plus.maths.org/content/silver-ratio
