Nell’episodio 12 della seconda stagione di “Futurama” [1], si può scorgere un cinema chiamato “Loew’s ℵ0 – plex”.
Il nome “Loew” si ispira alla Loews Cineplex Entertainment, la più vecchia catena teatrale del Nord America [2].
Ma, come avrete già intuito, oggi voglio parlarvi di quel simbolo strano, seguito da uno zero a pedice: ‘ℵ0’.
Cos’è? Cosa significa?
Il simbolo ‘ℵ’ è aleph (e si pronuncia alef [3]) ed è la prima lettera dell’alfabeto ebraico (notate la somiglianza con alfa, la prima lettera dell’alfabeto greco).
In matematica, questo simbolo viene usato per indicare il numero di elementi di un insieme infinito.
E anche da qui riesco a sentire la vostra confusione: “In che senso il numero di elementi di un insieme infinito? Non è semplicemente infinito?”. Beh sì, ma no!
Esistono diversi tipi di infinito e alcuni sono più grandi di altri. Per capire come sia possibile facciamo un passo indietro e chiediamoci: “Come facciamo a dire che un insieme ha lo stesso numero di elementi di un altro?”.
La risposta è la seguente: un insieme ha lo stesso numero di elementi (e in questo caso si parla di cardinalità dell’insieme) quando ad ogni elemento del primo insieme sono in grado di associare uno e un solo elemento dell’altro.
Quindi un insieme di 5 banane ed uno di 5 mele hanno lo stesso numero di elementi perché ad ogni banana posso associare una e una sola mela, come nel grafico a fianco, nel quale da ogni frutto parte una e una sola linea verso un frutto dell’altro insieme.
Chiaramente, se in uno dei due insiemi rimane un elemento non accoppiato con nessun elemento dell’altro insieme (cioè se avessimo una banana in più), allora un insieme sarebbe più numeroso dell’altro.
Questo ragionamento vale anche per gli insiemi con un infinito numero di elementi. Ad esempio siamo tutti d’accordo che i numeri naturali (quelli usati per contare: 0, 1, 2, 3, …) sono infiniti, e che anche i soli numeri pari (0, 2, 4, 6, …) lo siano.
La cosa che forse non tutti sanno è che l’insieme dei numeri naturali e quello dei numeri pari hanno esattamente lo stesso numero di elementi, pur essendo l’insieme dei pari un sottoinsieme di quello dei naturali. Infatti ad ogni numero naturale possiamo associare uno e un solo numero pari: il suo doppio!
Ebbene, il simbolo “ℵ0” viene usato per indicare esattamente questa infinità: un insieme ha ℵ0 elementi se ne ha esattamente tanti quanti ne ha l’insieme dei numeri naturali. Altri insiemi con ℵ0 elementi sono l’insieme dei numeri interi (quindi i naturali dotati di segno: 0, +1, -1, +2, -2, …) e l’insieme dei numeri razionali (ovvero l’insieme di tutte le possibili frazioni tra numeri interi: 1, ½, ⅓, 22/7, …).
Al contrario, non è possibile mettere in relazione ogni numero reale con un numero naturale, quindi l’insieme dei numeri reali ha più elementi.
Questo infinito più grande è indicato dal simbolo ℵ1, e secondo l’Ipotesi del Continuo (una congettura che potremmo non riuscire mai a dimostrare [4]), non esiste nessun infinito nel mezzo, ovvero non esiste nessun insieme che abbia più elementi dell’insieme dei naturali ma meno di quello dei reali.
Quindi ora siamo pronti a rispondere alla domanda che dà il titolo a questo articolo: “Il Loew’s ℵ0 – plex è il cinema più capiente dell’universo?”.
Sicuramente ogni umano, alieno o robot che mai esisterà potrà trovare posto, ma potrebbe esistere anche un cinema più grande: il ℵ1 -plex, che però rimarrà sempre con infiniti posti vuoti.
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Michele Ginesi Laureato in Matematica nel 2017 presso l’Università di Verona. Attualmente studente di Dottorato presso la stessa Università. Mi piace vedere l’aspetto matematico delle mie passioni, dalla musica alla giocoleria.
Fonti:
- https://theinfosphere.org/Raging_Bender;
- https://en.wikipedia.org/wiki/Loews_Cineplex_Entertainment;
- https://www.youtube.com/watch?v=AVWnc8ttbPk;
- https://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/.
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